Question

已知一元二次方程-x²+bx+c=0的两个实数根是m，4，其中0＜m＜4．
（1）求b、c的值（用含m的代数式表示）；
（2）设抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若点D的坐标为（0，-2），且AD•BD=10，求抛物线的解析式及点C的坐标；
（3）在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使得PC=PD？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）一元二次方程-x²+bx+c=0的两个实数根是m，4；
∴m+4=b，4m=-c，
∴b=m+4，c=-4m．

（2）由（1）知抛物线y=-x²+（m+4）x-4m与x轴两个交点的坐标为（m，0）（4，0）；
∵AD•BD=10，
∴•=10
∵0＜m＜4，
∴m=1
∴y=-x²+5x-4．
令x=0，
∴y=-4
∴C（0，-4）．
∴抛物线的解析式为y=-x²+5x-4，点C的坐标（0，-4）．

（3）要使得PC=PD，P点必在CD的垂直平分线l上；
∴直线l是y=-3
由，
解得，
∴抛物线上存在P点，使得PC=PD，且P点坐标为（，-3）或（，-3）．
分析：（1）已知了方程的两根，用韦达定理即可求出b、c的值．
（2）已知了D点的坐标即可求出OD的长，也就能求出AD、BD的长，然后根据AD•BD=10可得出m的值．进而可求出抛物线的解析式．根据抛物线的解析式即可得出其与y轴的交点．
（3）如果PC=DP，那么P点必在线段CD的垂直平分线上，设这条垂直平分线为l，那么P点必为直线l与抛物线的交点，由此可求出P点的坐标．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、二次函数解析式的确定、函数图象交点等知识．