Question

【题目】（1）如图①，在矩形ABCD中，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝90°，若存在请用直尺和圆规作出点P（保留作图痕迹）

（2）若AB＝4，AD＝10，求出图①中BP的长．

（3）如图②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为AB，AC的中点，当AD＝6时，BC边上是否存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）BP的长是2或8；（3）．

【解析】

（1）以AD为直径画圆与BC交于点P1、P2，则点P1、P2为所求点；
（2）由矩形的性质得到AD=BC=10，AB=CD=4根据三角形相似即可解出；
（3）由三角形的中位线得到EF∥BC，EF＝BC＝6，根据EF与BC间距离为3，推出以EF为直径的⊙O与BC相切，得出BC上符合条件的点Q只有一个，记⊙O与BC相切于点Q，连接OQ，过点E作EG⊥BC，垂足为G，证出四边形EOQG为正方形，由勾股定理即可求出．

解：（1）如图所示，则点P1、P2为所求点；

（2）在矩形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD＝4，

设BP＝x，则PC＝10﹣x，

∵∠APD＝90°，

∴∠APB+∠CPD＝90°，

∵∠BAP+∠APB＝90°，

∴∠BAP＝∠CPD，

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴△ABP∽△PCD，

∴，

∴，

解得：x1＝2，x2＝8，

∴BP的长是2或8；

（3）如图：

∵EF分别为AB、AC的中点，

∴EF∥BC，EF=BC=6,

∵AD＝6，AD⊥BC，

∴EF与BC间距离为3，

∴以EF为直径的⊙O与BC相切，

∴BC上符合条件的点Q只有一个，记⊙O与BC相切于点Q，

连接OQ，过点E作EG⊥BC，垂足为G，

∴EG＝OE＝3，

∴四边形EOQG为正方形，

在Rt△EBG中，∠B＝60°，EG＝3，∴，∴．