Question

【题目】如图，抛物线y1=a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2= （x﹣3）2+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y2=5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是（填写正确结论的序号）．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵抛物线y1=a（x+2）2+m与抛物线y2= （x﹣3）2+n的对称轴分别为x=﹣2，x=3， ∴两条抛物线的对称轴距离为5，故①正确；
∵y1=a（x+2）2+m经过点A（1，3）与原点，
∴ ，
解得 ，
∴y1= （x+2）2﹣ ，
∵y2= （x﹣3）2+n经过点A（1，3），
∴ （1﹣3）2+n=3，
解得n=1，
∴y2= （x﹣3）2+1，
当x=0时，y= （0﹣3）2+1=5.5，故②错误；
由图象得，当x＞1时，y1＞y2 ， 故③正确；
∵过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，
∴令y=3，则 （x+2）2﹣ =3，
整理得，（x+2）2=9，
解得x1=﹣5，x2=1，
∴AB=1﹣（﹣5）=6，
∴A（1，3），B（﹣5，3）；
令y=3，则 （x﹣3）2+1=3，
整理得，（x﹣3）2=4，
解得x1=5，x2=1，
∴C（5，3），
∴AC=5﹣1=4，
∴BC=10，
∴y轴是线段BC的中垂线，故④正确．
所以答案是①③④．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．