Question

如图，△ABD，△BCE和△ACF都是等边三角形，连DE和EF．
（1）试判断四边形DAFE的形状，并说明理由；
（2）当∠BAC多少度时，四边形DAFE是矩形；
（3）探究下列问题：（只填满足的条件，不证明）①当△ABC满足______条件时，四边形DAFE是菱形，②当△ABC满足______条件时，以D、A、F、E为顶点的四边形不存在．

Answer 1

解：
（1）判断：四边形DAFE是平行四边形，
理由：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA=60°
∴∠DBE=∠ABC（1.5分）
又∵BD=BA，BE=BC
∴△ABC≌△DBE
∴AC=DE=AF（2.5分）
同理△ABC≌△FEC
∴AB=EF=AD（3.5分）
∴四边形DAFE是平行四边形

（2）若四边形DAFE是矩形，则∠DAF=90°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°

（3）①若四边形DAFE是菱形，则AD=AE，主要可以得到：AB=AC，但不能出现AB≠BC，因为当AB=AC=BC时，△ABC是等边三角形，和△EBC就重合了．故填：AB=AC≠BC；
②当∠BAC=60°时，根据已知可以得到∠DAF=180°，那么D、A、F三点在同一条直线上，此时四边形就不成立了．
故填：∠BAC=60°，不答“≠”不得分，②∠BAC=60°
分析：（1）四边形DAFE是平行四边形，根据△ABD，△BCE和△ACF都是等边三角形容易得到全等条件证明△ABC≌△DBE，然后利用全等三角形的性质解决问题；
（2）根据（1）知道四边形DAFE是平行四边形，若四边形DAFE是矩形，则∠DAF=90°，然后根据题目已知容易求出∠BAC=150°；
（3）根据（1）知道四边形DAFE是平行四边形，若四边形DAFE是菱形，则AD=AE，主要可以得到：AB=AC，但不能出现AB≠BC，因为当AB=AC=BC时，△ABC是等边三角形，所以∠BAC=60°，此时根据已知可以得到∠DAF=180°，那么D、A、F三点在同一条直线上，此时四边形就不成立了．
点评：本题是开放题，可以结合特殊四边形的判定方法探讨不同给出的不同条件，此题要求学生对几类特殊四边形的性质与判定很熟练．