Question

如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（-3，4）．
（1）求AO的长；
（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；
（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②求S的最大值．

Answer 1

（1）解：∵A（-3，4），
∴AH=3，OH=4，
由勾股定理得：AO==5，
答：OA的长是5．

（2）解：∵菱形OABC，
∴OA=OC=BC=AB=5，
5-3=2，
∴B（2，4），C（5，0），
设直线AC的解析式是y=kx+b，
把A（-3，4），C（5，0）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
当x=0时，y=2.5
∴M（0，2.5），
答：直线AC的解析式是，点M的坐标是（0，2.5）．

（3）①解：过M作MN⊥BC于N，
∵菱形OABC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵MO⊥CO，MN⊥BC，
∴OM=MN，
当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH=4-2.5=，
S=×BP×MH=×（5-2t）×=-t+，
∴，
当2.5＜t≤5时，P在BC上，S=×PB×MN=×（2t-5）×=t-，
∴，
答：S与t的函数关系式是（0≤t＜2.5）或（2.5＜t≤5）．

②解：当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是×5×=，
同理在BC上时，P与C重合时，S最大是×5×=，
∴S的最大值是，
答：S的最大值是．
分析：（1）根据A的坐标求出AH、OH，根据勾股定理求出即可；
（2）根据菱形性质求出B、C的坐标，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（-3，4），C（5，0）代入得到方程组，求出即可；
（3）①过M作MN⊥BC于N，根据角平分线性质求出MN，P在AB上，根据三角形面积公式求出即可；P在BC上，根据三角形面积公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比较即可得到答案．
点评：本题主要考查对勾股定理，三角形的面积，菱形的性质，角平分线性质，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．