Question

20．矩形各个内角的平分线围成一个四边形，则这个四边形一定是（　　）

• A． 正方形
• B． 菱形
• C． 矩形
• D． 平行四边形

Answer 1

分析 由矩形的性质和角平分线证出四边形GMON为矩形，再证出△DOC、△AMD、△BNC是等腰直角三角形，得出OD=OC，证明△AMD≌△BNC，得出NC=DM，得出OM=ON，即可得出结论．

解答 解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠CBA=∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC，
∵AF，BE是矩形的内角平分线．
∴∠DAM=∠BAF=∠ABE=∠CBE=45°．
∴∠1=∠2=90°．
同理：∠MON=∠OMG=90°，
∴四边形GMON为矩形．
又∵AF、BE、DK、CJ为矩形ABCD的角的平分线，
∴△DOC、△AMD、△BNC是等腰直角三角形，
∴OD=OC，
在△AMD和△BNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠BNC}&{\;}\\{∠DAM=∠CBN}&{\;}\\{AD=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△BNC（AAS），
∴NC=DM，
∴NC-OC=DM-OD，
即OM=ON，
∴矩形GMON为正方形．
故选：A．

点评 本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．