Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣4，0）、B（2，0）；（2）D点坐标为：D1（﹣1，），D2（﹣1，）；（3）直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3．

【解析】

解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2．

∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）．

（2）由得，对称轴为x=﹣1．

在中，令x=0，得y=3．

∴OC=3，AB=6，．

在Rt△AOC中，．

设△ACD中AC边上的高为h，则有ACh=9，解得h=．

如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D．

设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=，

∴．

设直线AC的解析式为y=kx+b，

将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得

，解得．

∴直线AC解析式为．

直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，

∴直线L1的解析式为．

则D1的纵坐标为．∴D1（﹣1，）．

同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）．

综上所述，D点坐标为：D1（﹣1，），D2（﹣1，）．

（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．

连接FM，过M作MN⊥x轴于点N．

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3．

又FE=5，则在Rt△MEF中，ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=．

在Rt△FMN中，MN=MFsin∠MFE=3×，FN=MFcos∠MFE=3×．

则ON=．

∴M点坐标为（，）．

直线l过M（，），E（4，0），

设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得．

∴直线l的解析式为y=x+3．

同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3．

综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3．