Question

【题目】在中，，，是上一点，连接

（1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：

（2）过点作，为垂足，连接并延长交于点.

①如图2，若，求证：

②如图3，若是的中点，直接写出的值（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②

【解析】

(1)延长交于点，证明即可得；

(2)①过点作交的延长线于点，由(1)，得，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；

②过点C作CD//BP交AB的延长线于点D，延长AM交CD于点H，先证明△BPM≌△CHM，从而可得BP=CH，PM=HM，再证明△ABM∽△BPM，得到，在Rt△PCH中，由tan∠PCH=可得tan∠BPQ=，继而根据BC=2BM，即可求得答案.

(1)延长交于点，

∵与垂直，，

∴，，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴；

(2)①过点作交的延长线于点，

∵，∴与垂直，

由(1)，得，

∵，

∴，即；

②过点C作CD//BP交AB的延长线于点D，延长AM交CD于点H，

∴∠PCH=∠BPQ，

∵，∴⊥，

∴∠BPM=∠CHM=90°，

又∵∠BMP=∠CMH，BM=CM，

∴△BPM≌△CHM，

∴BP=CH，PM=HM，

∴PH=2PM，

∵∠PMB=∠BMA，∠ABM=∠BPM=90°，

∴△ABM∽△BPM，

∴，

在Rt△PCH中，tan∠PCH=，

∴tan∠BPQ=，

又∵BC=2BM，，

∴tan∠BPQ=.