Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，过点A的直线l分别与x轴、y轴交于点C，D．

（1）求直线l的函数表达式．

（2）P为x轴上一点，若△PCD为等腰三角形直接写出点P的坐标．

（3）将线段AB绕B点旋转90°，直接写出点A对应的点A的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（﹣6，0），（﹣4，0），（16，0）或（﹣，0）；（3）点A′的坐标为（0，﹣）或（8，）．

【解析】

（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线l的函数表达式；

（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C，D的坐标，进而可得出CD的长，分DC＝DP，CD＝CP，PC＝PD三种情况考虑：①当DC＝DP时，利用等腰三角形的性质可得出OC＝OP1，进而可得出点P1的坐标；②当CD＝CP时，由CP的长度结合点C的坐标可得出点P2，P3的坐标；③当PC＝PD时，设OP4＝m，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点P4的坐标．综上，此问得解；

（3）过点B作直线l的垂线，交y轴于点E，则△DOC∽△DBE，利用相似三角形的性质可求出点E的坐标，由点B，E的坐标，利用待定系数法可求出直线BE的函数表达式，设点A′的坐标为（n，n﹣），由A′B＝AB可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出点A′的坐标，此题得解．

（1）设直线l的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），

将A（1，），B（4，）代入y＝kx+b，

得：，解得：，

∴直线l的函数表达式为y＝﹣x+8．

（2）当x＝0时，y＝﹣x+8＝8，

∴点D的坐标为（0，8）；

当y＝0时，﹣x+8＝0，

解得：x＝6，

∴点C的坐标为（6，0），

∴CD＝10．

分三种情况考虑（如图1所示）：

①当DC＝DP时，OC＝OP1，

∴点P1的坐标为（﹣6，0）；

②当CD＝CP时，CP＝10，

∴点P2的坐标为（﹣4，0），点P3的坐标为（16，0）；

③当PC＝PD时，设OP4＝m，

∴（6+m）2＝82+m2，

解得：m＝，

∴点P4的坐标为（﹣，0）．

综上所述：点P的坐标为（﹣6，0），（﹣4，0），（16，0）或（﹣，0）．

（3）过点B作直线l的垂线，交y轴于点E，如图2所示，

∵点B（4，），点D（0，8），

∴BD＝＝，

∵∠CDO＝∠EDB，∠DOC＝∠DBE＝90°，

∴△DOC∽△DBE，

∴，即，

∴DE＝，

∴点E的坐标为（0，﹣）．

利用待定系数法可求出直线BE的函数表达式为y＝x﹣，

设点A′的坐标为（n， n﹣），

∵A′B＝AB，

∴（4﹣n）2+[﹣（n﹣）]2＝（4﹣1）2+（﹣）2，

即n2﹣8n＝0，

解得：n1＝0，n2＝8，

∴点A′的坐标为（0，﹣）或（8，）．