Question

已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4．点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动；点N从点C出发，沿C→D→A方向，以每秒1个单位的速度向点A运动，若M、N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动．运动时间为t秒，过点N作NQ⊥CD交AC于点Q．
（1）设△AMQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
（2）在梯形ABCD的对称轴上是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，求点P到AB的距离；若不存在，说明理由．
（3）在点M、N运动过程中，是否存在t值，使△AMQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出t的临界点t=2，分别求出当0＜t≤2时和2≤t＜4时，S与t的函数关系式即可，
（2）作梯形对称轴交CD于K，交AB于L，分3种情况进行讨论，①取AD的中点G，②以D为直角顶点，③以A为直角顶点，
（3）当0＜t≤2时，若△AMQ为等腰三角形，则MA=MQ或者AQ=AM，分别求出t的值，然后判断t是否符合题意．

解答：解：（1）当0＜t≤2时，
如图：过点Q作QF⊥AB于F，过点C作CE⊥AB于E，
∵AB∥CD，
∴QF⊥CD，
∵NQ⊥CD，
∴N，Q，F共线，
∴△CQN∽△AFQ，
∴

CN

AF

=

NQ

QF

，
∵CN=t，AF=AE-CN=3-t，
∵NF=

3

，
∴QF=

3

-

3

3

t，
∴S=

1

2

•t•（

3

-

3

3

t），
∴S=-

3

6

t²+

3

2

t，
当2≤t＜4时，
如图：△FQC∽△PQA，
∵DN=t-2，
∴FD=DN•cos∠FDN=DN•cos60°=

1

2

（t-2），
∴FC=CD+FD=2+

1

2

（t-2）=

1

2

t+1，
∴FQ=FC•tan∠FCQ=FC•tan30°=（

1

2

t+1）•

3

3

=

3

6

（t+2），
∴PQ=PF-FQ=

3

-

3

6

（t+2），
可得QP=

3

-

3

6

（t+2），
S=

1

2

•t•[

3

-

3

6

（t+2）]，
∴S=-

3

12

t²+

3

3

t；

（2）作梯形对称轴交CD于K，交AB于L，
情况一：取AD的中点G，GD=1，
过G作GH⊥对称轴于H，GH=1.5，
∵1.5＞1，
∴以P为直角顶点的Rt△PAD不存在，
情况二：以D为直角顶点：KP₁=

3

3

，
∴P₁L=

2

3

3

，
况三：以A为直角顶点，LP₂=

2

3

3

，
综上：P到AB的距离为

2

3

3

时，△PAD为Rt△，

（3）0＜t≤2时，若MA=MQ，
则：

3

2

t=

3

-

3 3

2

t，
∴t=

6

5

，
若AQ=AM，则t=2

3

-

2 3

3

t，
解得t=12-6

3

，
若QA=QM，则∠QMA=30°
而0＜t≤2时，∠QMA＞90°，
∴QA=QM不存在；
2≤t＜4（图中）
若QA=QM，AP：AD=

3

：2，
∴t=2，
若AQ=AM，2

3

-

3

3

（t+2）=t，
∴t=2

3

-2，
∵2

3

-2＜2，
∴此情况不存在若MA=MQ，则∠AQM=30°，而∠AQM＞60°不存在．
综上：t=

6

5

，12-6

3

，2时，△AMQ是等腰三角形．

点评：本题主要考查等腰梯形的性质的知识点，此题综合性很强，把图形的变换放在梯形的背景中，利用等腰梯形的性质结合已知条件探究图形的变换，根据变换的图形的性质求出运动时间．