Question

定义：a是不为1的有理数，我们把

1

1-a

称为a的差倒数，如：2的差倒数是

1

1-2

=-1，-1的差倒数是

1

1-(-1)

=

1

2

． 已知a₁=-

1

3

，a₂是a₁差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推．
（1）求a₂、a₃、a₄的值．  
（2）求a₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析：（1）根据差倒数的定义分别求出a₂、a₃、a₄的值即可；
（2）利用（1）中所求即可得出变化数据规律，即每3个循环一次，进而得出a₂₀₁₁的值．

解答：解：（1）∵a₁=-

1

3

，a₂是a₁差倒数，
∴a₂=

1

1-(- 1 3 )

=

3

4

，
∵a₃是a₂的差倒数，
∴a₃=

1

1- 3 4

=4
∵a₄是a₃的差倒数，
∴a₄=

1

1-4

=-

1

3

；

（2）∵a₁=-

1

3

，a₂=

3

4

，a₃=4，a₄=-

1

3

；
2011÷3=670…1，
∴a₂₀₁₁=-

1

3

．

点评：此题主要考查了新定义以及数字变化规律，根据已知得出数据之间的变化规律是解题关键．