Question

如图，已知△ABC中，∠A=90°，AC=10，AB=5，点A、C分别在x轴和y轴上，且C（0，8），抛物线y=

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x²+bx+c过B、C两点．
（1）求抛物线解析式．
（2）如果将△ABC沿CA翻折，设点B的落点为点M，现平移抛物线，使它的顶点为M，求出平移后的抛物线解析式，并写出平移的方法．

Answer 1

分析：（1）设点B（x，y）．根据二次函数图象上点的坐标特征，C点代入函数解析式求得c值及y=

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x²+bx+8③；然后根据勾股定理、两点间的距离公式求得（x-6）²+y²=25①，
125=x²+（y-8）²②，联立①②③解出b值．
（2）根据折叠的性质知，点M与点B关于点A对称，所以M（2，-3）．然后根据顶点式二次函数的解法求平移后的抛物线的方程；最后由平移的方法回答问题．

解答：解：（1）∵抛物线y=

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x²+bx+c过C点，且C（0，8），
∴8=c，
∴OC=8；
在Rt△AOC中，AC=10，OC=8，
∴根据勾股定理，得OA=6．
如图1，过点B作BD⊥x轴于点D．
∵∠COA=∠ADB=90°，∠ACO=∠BAD（同角的余角相等），
∴△COA∽△ADB，
∴

OC

DA

=

CA

AB

，即

8

DA

=

10

5

，则DA=4．
∴BD=3（勾股定理），
∴B（10，3）．
∵抛物线y=

1

4

x²+bx+c过B、C两点．
∴

8=c 3= 1 4 ×102+10b+c

，
解得

b=-3 c=8

，
∴该抛物线的解析式是：y=

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4

x²-3x+8，
即y=

1

4

（x-6）²-1；

（2）由（1）得B（10，3）．
根据题意知，点M与点B关于点A对称，所以M（2，-3）．
∴平移后的抛物线解析式是：
y=

1

4

（x-2）²-3；
方法：向左平移4个单位，再向下平移2个单位．

点评：本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．