Question

阅读下面的材料：

小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数的最大值．他画图研究后发现，和时的函数值相等，于是他认为需要对进行分类讨论．

他的解答过程如下：

∵二次函数的对称轴为直线，

∴由对称性可知，和时的函数值相等．

∴若1≤m＜5，则时，的最大值为2；

若m≥5，则时，的最大值为．

请你参考小明的思路，解答下列问题：

（1）当≤x≤4时，二次函数的最大值为_______；

（2）若p≤x≤2，求二次函数的最大值；

（3）若t≤x≤t+2时，二次函数的最大值为31，则的值为_______．

 

Answer 1

【答案】

（1）y="49" （2）y="2p2+4p+1" 或17 (3)t=1或t=-5.

【解析】

试题分析：(1) ∵y=2x²+4x+1∴y=2(x+1)²-1. ∴对称轴x="-1,又-2≤x≤4时，y的最大值，当x=4时，y有最大值为49.（2）∵P≤x≤2" 由于二次函数具有对称性，当x=2与x=-4时，函数值相等，而x=-1时，y有最小值，是因为a﹥0,图像开口向上。∴当p≤-4，x=p时，y有最大值，y=2p²+4P+1.当-4﹤p≤2，x="2时，y有最大值" y="17.(3)当t≥-1，x=t+2时，y有最大值，即2（t+2" ）²+4(t+2)+1=31  (t+7)(t-1)="0" ∴t₁="1" t₂="-7(舍去)" 当t﹤-1，x=t时，y有最大值，即2t²+4t+1="0" (t+5)(t-3)="0" t₁="-5" t₂=3(舍去)。∴t=1或t=-5解：（1）当时，二次函数的最大值为 49 ；  ……    1分

（2）∵二次函数的对称轴为直线，

∴由对称性可知，当和时函数值相等.

∴若，则当时，的最大值为.  .................... 2分

若，则当时，的最大值为17.  ............................. 3分

（3）的值为 或 .  .................................................. 5分

阅卷说明：只写或只写得1分；有错解得0分.

考点：二次函数的图像与性质，即对称轴，顶点坐标解析式的求法。

点评：本题是难题，难点在于当自变量x的取值范围内要考虑到对称轴的关系，需要讨论。此题还可以依据函数的单调性来讨论，即是在对称轴为准，自变量x在那个范围上是y随着x的增大而增大，即为增函数，反之，减函数。由此得到函数的最值。