Question

已知关于x的方程x²－2(m＋1)x＋m²－2m－3＝0　　①的两个不相等实数根中有一个根为0，是否存在实数k，使关于x的方程x²－(k－m)x－k－m²＋5m－2＝0　　②的两个实数根x₁、x₂之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

∵程①有两个不相等的实数根， 　　∴Δ＝〔－2(m＋1)〕2－4(m2－2m－3)＝16m＋16＞0，解得m＞－1． 　　又∵　　方程①有一个根为0， 　　∴m2－2m－3＝0， 　　即(m－3)(m＋1)＝0． 　　解得m1＝－1，m2＝3． 　　又∵m＞－1，∴m1＝－1应舍去，∴m＝3． 　　当m＝3时，方程②变形为 　　x2－(k－3)x－k＋4＝0． 　　∵x1、x2是方程②的两个实数根， 　　∴x1＋x2＝k－3，x1x2＝－k＋4． 　　若|x1－x2|＝1，则有(x1＋x2)2－4x1x2＝1． 　　∴(k－3)2－4(－k＋4)＝1． 　　即k2－2k－8＝0，(k－4)(k＋2)＝0． 　　∴k1＝－2，k2＝4． 　　∵当k＝－2时，Δ＝〔－(k－3)〕2－4(－k＋4)＝k2－2k－7＝(－2)2－2×(－2)－7＝1＞0． 　　此时，方程②为x2＋5x＋6＝0，即x1＝－3，x2＝－2，满足条件； 　　当k＝4时，Δ＝k2－2k－7＝42－2×4－7＝1＞0， 　　此时，方程②为x2－x＝0，x1＝0，x2＝1，也满足条件，∴k＝－2或4． 　　∴存在实数k＝－2或4，使得方程②的两个实数根之差的绝对值为1．