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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y=-
    3
    4
    x+3    分别交x轴于点B和点C，点D是直线y=-
    3
    4
    x+3    与y轴的交点．
    （1）求点B、C、D的坐标；
    （2）设M（x，y）是直线y=x+1上一点，△BCM的面积为S，请写出S与x的函数关系式；来探究当点M运动到什么位置时，△BCM的面积为10，并说明理由．
    （3）线段CD上是否存在点P，使△CBP为等腰三角形，如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）把x=0或y=0分别代入解析式，求出即可；
    （2）求出BC，得到M（x，x+1），过M作MN⊥x轴于N，①当M在x轴的上方时，MN=x+1，②当M在x轴的下方时，MN=-x-1，根据三角形的面积公式求出即可；
    （3）求出CD，有三种情况：①CB=CP时，此时P与D重合，求出P的坐标；②BP=PC时，此时P在BC的垂直平分线上，求出P的横坐标x，代入y=-
    3
    4
    x+3求出y即可；③BC=BP时，设P（x，-
    3
    4
    x+3），根据勾股定理和CB=BP得出方程，求出方程的解即可．
    解答：（1）解：把y=0代入y=x+1得：0=x+1，
    ∴x=-1，
    ∴B（-1，0），
    当x=0时，y=-
    3
    4
    x+3=0，
    ∴D（0，3），
    把y=0代入y=-
    3
    4
    x+3得：0=-
    3
    4
    x+3，
    ∴x=4，
    ∴C（4，0），
    答：B（-1，0），C（4，0），D（0，3）．

    （2）解：BC=4-（-1）=5，
    ∵M（x，y）在y=x+1上，
    ∴M（x，x+1），
    过M作MN⊥x轴于N，
    ①当M在x轴的上方时，MN=x+1，
    ∴S=
    1
    2
    BC×MN=
    1
    2
    ×5×（x+1）=
    5
    2
    x+
    5
    2
    ；
    ②当M在x轴的下方时，MN=|x+1|=-x-1，
    ∴S=
    1
    2
    BC×MN=
    1
    2
    ×5×（-x-1）=-
    5
    2
    x-
    5
    2
    ；
    把s=10代入得：10=
    5
    2
    x+
    5
    2
    得：x=3，x+1=4；
    把s=10代入y=-
    5
    2
    x-
    5
    2
    得：x=5=-5，x+1=-4；
    ∴M（3，4）或（-5，-4）时，s=10；
    即S与x的函数关系式是
    y=
    5
    2
    x+
    5
    2
    (x＞-1)
    y=-
    5
    2
    x-
    5
    2
    (x＜-1)
    ，点M运动到（3，4）或（-5，-4）时，△BCM的面积为10．

    （3）解：由勾股定理得：CD=
    		OC2+OD2
    =5，
    有三种情况：
    ①CB=CP=5时，此时P与D重合，P的坐标是（0，3）；
    ②BP=PC时，此时P在BC的垂直平分线上，P的横坐标是x=
    4+(-1)
    2
    =
    3
    2
    ，
    代入y=-
    3
    4
    x+3得：y=
    15
    8
    ，∴P（
    3
    2
    ，
    15
    8
    ）；
    ③BC=BP时，设P（x，-
    3
    4
    x+3），
    根据勾股定理得：（x+1）2+(-
    3
    4
    x+3-0)    2    =52，
    解得：x=-
    12
    5
    ，x=4，
    ∵P在线段CD上，∴x=-
    12
    5
    舍去，
    当x=4时，与C重合，舍去，
    ∴存在点P，使△CBP为等腰三角形，P点的坐标是（0，3）或（
    3
    2
    ，
    15
    8
    ）．
    点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，三角形的面积，点的坐标等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，同时也培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，综合性比较强．分类讨论思想的运用．
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    （1）在图中标出点M，N的位置，并分别写出点M，N的坐标：
     
    ．
    （2）请你依次连接M、N和第三次跳后的点，组成一个封闭的图形，并计算这个图形的面积；
    （3）猜想一下，经过第2009次跳动之后，棋子将落到什么位置．

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    ．

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    （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
    （2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
    （3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P'，请直接写出P'点坐标，并判断点P'是否在该抛物线上．

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