Question

如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=90°，AC与BD交于点H，AE⊥BC于点E，AE交BD于点G，点F是BD的中点，连接EF，若HG=10，GB=6，tan∠ACB=1，则下列结论：①∠DAC=∠CBD；②DH+GB=HG；③4AH=5HC；④EC-EB=EF；其中正确结论是

1. A.
   只有①②
2. B.
   只有①③④
3. C.
   只有①④
4. D.
   只有②③④

Answer 1

B
分析：①以BD中点F为圆心，BD为直径可以作出△ABC的外接圆，根据圆周角定理可得出结论；
②根据△ABF∽△GAF可得出AB²=BF•DG，由BD=AB，即16+DH=AB可求出DH的长，进而可得出DG+GB≠HG，进而可判断②错误；
③△AHG∽△BHA，由相似三角形的性质可得出AH的长，再根据相交弦定理可求出HC的长，进而可判断出③正确；
④根据BD=BH+DH=16+8=24，△ABD为等腰直角三角形可求出AB的长，再根据△ABH∽△DCH及直角三角形的性质即可CE-BE=EF，故④正确．
解答：解：①以BD中点F为圆心，BD为直径可以作出△ABC的外接圆，
∵tan∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ADB=45°，∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠DAC=∠CBD，故①正确；
②∵△ABH∽△AGD，
∴AB²=BH•DG，即AB²=16×（10+DH），
又∵BD=AB，即16+DH=AB，解得DH=8，
∵DH+GB=8+6=14≠10，
∴DG+GB≠HG，故②错误；
③∵△AHG∽△BHA，
∴AH²=BH×HG=16×10=160，
∴AH=4，
根据相交弦定理AH×HC=BH×DH，
∴HC=3.2，
∴4AH=5HC，故③正确；
④∵BD=BH+DH=16+8=24，△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=12，
∵而AC=AH+HC=7.2且△AEC为等腰直角三角形，
∴AE=CE=7.2，
根据勾股定理得BE=2.4，
∴CE-BE=4.8，
由△ABH∽△DCH，得CD=AB×DH÷AH=4.8，而FN=0.5CD=2.4，BF=12，
根据勾股定理得BN=4.8根号5，BE=2.4，
∴EN=BN-BE=2.4，EF=2.4，
∴CE-BE=EF，即④正确，
综上所述，①、③、④正确．
故选B．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆及解直角三角形，根据题意作出三角形的外接圆是解答此题的关键．