Question

如图，直线y=-2x+6与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）求这两条直线的交点A的坐标；
（3）求两条直线与y轴围成的三角形的面积；
（4）点E为OB的中点，点D从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向移动，过点D作y轴的平行线，与直线y=-2x+6相交于点F，与直线y=x相交于点G，点D的运动时间是t秒．试问以O、E、F、G为顶点的四边形能否是平行四边形？如果能，求出所有t的值；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）对于直线y=-2x+6，令x=0与y=0分别求出对应的y与x的值，即可确定出B与C的坐标；
（2）联立两直线解析式组成方程组，求出方程组的解即可得到A的坐标；
（3）两直线与y轴组成的三角形为三角形AOB，以OB为底，A的横坐标为高，利用三角形的面积公式求出即可；
（4）由E为OB的中点，由OB的长求出OE的长，当t大于0小于2时，过D的直线在A的左侧，如图1所示，表示出F与G的坐标，进而确定出FG的长，四边形OEFG为平行四边形时，FG=OE，列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，经检验符合题意；当t大于2时，过D的直线在A右侧，如图2所示，同理表示出FG，由四边形OEFG为平行四边形得到FG=OE，列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，经检验符号题意，综上，以O、E、F、G为顶点的四边形能是平行四边形．

解答：解：（1）对于直线y=-2x+6，
令x=0，解得：y=6；令y=0，解得：x=3，
则B（0，6）、C（3，0）；

（2）联立两直线方程得：

y=x y=-2x+6

，
解得

x=2 y=2

，
则点A（2，2）；

（3）由B（0，6），得到OB=6，
则S_△AOB=

1

2

OB•x_A横坐标=

1

2

×6×2=6；

（4）能，理由为：
∵点E是OB的中点，
∴OE=3，
当0＜t＜2时，如图1所示，
点F的坐标是（t，-2t+6），点G的坐标是（t，t），FG=-2t+6-t=-3t+6，
若四边形OEFG为平行四边形，
则FG=OE，即-3t+6=3，解得：t=1，
经检验，t=1符号题意；
当t＞2时，如图2所示，此时FG=t-（-2t+6）=3t-6，
若四边形OEGF是平行四边形，则FG=OE，即3t-6=3，解得：t=3，
经检验，t=3符号题意，
综上所述，当t=1或3时，以O、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形．

点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，平行四边形的性质，以及两一次函数的交点，是一道中档题．