Question

【题目】如图，已知二次函数的图象交轴于点和点，交轴于点．

求这个二次函数的表达式；

若点在第二象限内的抛物线上，求面积的最大值和此时点的坐标；

在平面直角坐标系内，是否存在点，使，，，四点构成平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点，8；（3）足条件的点的坐标为或或．

【解析】

（1）由A、C两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由A、B关于对称轴对称，则可知PA=PB，则当P、B、C三点在一条线上时满足|PA-PC|最大，利用待定系数法可求得直线BC解析式，则可求得P点坐标；

（3）分AB为边和AB为对称线两种情况，当AB为边时，利用平行四边形的性质可得到CQ=AB，可得到关于D点的方程，可求得D点坐标，当AB为对角线时，则AB的中点也为CQ的中点，则可求得Q点坐标．

解：∵二次函数的图象交轴于点和点，交轴于点．

∴，

∴，

∴二次函数的表达式为，

如图，

由有，二次函数的表达式为，

令，得，或，

∴

连接，，，

∴点是直线平移之后和抛物线只有一个交点时，最大，

∵，，

∴直线解析式为，

设直线平移后的直线解析式为，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴点，

过点作轴

∴，，

∵，

∴，，

∴，

∴．

存在点，使，，，四点构成平行四边形，

理由：①以为边时，，

过点作平行于的直线，

∵，

∴直线解析式为，

∴点在直线上，

设，

∴

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴或，

②以为对角线时，必过线段中点，且被平分，即：的中点也是的中点，

∵，，

∴线段中点坐标为，

∵，

∴直线解析式为，

设点，

∴，

∴（舍）或，

∴，

即：满足条件的点的坐标为或或．