Question

【题目】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点将沿轴折叠，使点落在轴的点上，设为线段上的一个动点，点与点不重合，连接．以点为端点作射线交线段于点使．

求点的坐标；

当时，求直线的解析式；

是否存在点使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，．

【解析】

（1）先利用待定系数法求得函数关系式，进而求得点B坐标，再利用对称性求得C的坐标即可；

（2）先利用轴对称性及三角形的外角性质证得，再根据勾股定理求得AC长，利用“ASA”可证得，进而可求得BM，AM的长，过点作轴于点，由此可得，利用相似三角形的性质可求得点M的坐标，最后利用待定系数法即可求得直线CM的函数关系式；

（3）分类讨论，当时，则有，利用相似三角形的性质可求得点的坐标，当时，则，进而可证得，再根据过点只有一条直线与垂直，即可求得此时的点的坐标为

解：（1）∵直线与轴相交于点

∴

直线的解析式为

令则

点与点关于轴对称，

（2）∵点与点关于轴对称

在△PAC与△MPB中，

（ASA）

过点作轴于点．

，

点的坐标是

又点的坐标为

设直线CM为，

则，

解得

直线的解析式为；

（3）存在，，

由题意，得

当时，则有

，即

，即

当时，则

过点只有一条直线与垂直，

此时点与点重合，即符合条件的点的坐标为

使为直角三角形的点有两个，，