Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45⁰，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y。

（1）求y与x的函数关系式；
（2）若∠APD=45⁰，当y=1时，求PB·PC的值；
（3）若∠APD=90⁰，求y的最小值。

Answer 1

（1）（2）2（3）

解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E，

∵AB=x，∠B=45⁰，∴。
又∵AD=y，△PAD的面积为，
∴ ，即。
∴y与x的函数关系式为。
（2）∵四边形ABCD是等腰梯形， AD=y=1，∴∠B=∠C，AB=DC=。
∵∠B＋∠1＋∠4=180⁰，∠1＋∠2＋∠3=180⁰，
∴∠B＋∠4=∠2＋∠3。
∵∠B=45⁰，∠2=∠APD=45⁰，∴∠4=∠3。
∴△BPA∽△CDP。∴。
∴。

（3）如图，过AD的中点为圆心，AD为半径画圆，交BC于点P，则∠APD=90⁰，连接OP，过点O作OF⊥BC于点F，

∵AD∥BC，∴四边形AEFO是矩形。
∴。
又OP=，设PF=t，则，即。
设，则，（负值舍去）。
∴根据偶次幂和算术平方根的非负性质，当时，最小，最小值为2。
∴的最小值为。
（1）依题设，根据等腰梯形的性质，用x表示出△PAD的AD边上的高，即可由△PAD的面积
为列式得到y与x的函数关系式。
（2）证明△BPA∽△CDP即可得到PB·PC的值。
（3）由∠APD=90⁰，根据直径所对圆周角是直角的性质，过AD的中点为圆心，AD为半径画圆，交BC于点P，则∠APD=90⁰，连接OP，过点O作OF⊥BC于点F，设PF=t，应用勾股定理得，化简，解方程，根据偶次幂和算术平方根的非负性质，求得结果。