Question

如图，在△PAB中，点C、D在边AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°．
(1)试说明△APC与△PBD相似．
(2)若CD＝1，AC＝x，BD＝y，请你求出y与x之间的函数关系式．
(3)小明猜想：若PC＝PD＝1，∠CPD＝α，∠APB＝β，只要α与β之间满足某种关系式，问题(2)中的函数关系式仍然成立．你同意小明的观点吗？如果你同意，请求出α与β所满足的关系式；若不同意，请说明理曲．

Answer 1

（1）说明见解析
（2）
（３）同意，2β-α=180°

解析试题分析：
（1）根据PC=PD=CD，得∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，则∠ACP=∠BDP=120°，可证明∠A=∠BPD，从而证得△APC与△PBD；
（2）由（1）得 ，则 ，从而得出y与x的函数关系式；
（3）根据题意仍可得出（2）中的函数关系式，则同意这种说法．
试题解析：（1）∵PC=PD=CD，
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴∠ACP=∠BDP=120°，
∵∠A+∠APC=60°，∠APC+∠BPD=∠APB-∠CPD=120°-60°=60°，
∴∠A=∠BPD
∴△APC∽△PBD
由（１）得△APC∽△PBD，，
∴，即
（３）同意，2β-α=180°
考点：相似三角形的判定与性质