Question

（2012•台州模拟）已知A、B、C、D点的坐标如图所示，E在线段AC的延长线上，若△ABC和△ADE相似，则E点的坐标是

（4，-3）或（

16

13

，-

15

13

）

．

Answer 1

分析：根据点A、B、C、D的坐标求出AB、BC、AC、AD的长，然后分两种情况：①当∠ADE=90°时，利用相似三角形对应边成比例列出比例式求出DE的长度，再结合图形即可求出点E的坐标；②当∠AED=90°时，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出AE的长度，过E作EF⊥AD于点F，解直角三角形求出AF、EF，然后结合图形即可求出点E的坐标．

解答：解：由图可知，A（-5，3）、B（1，3）、C（1，-1）、D（4，3），
∴AB=1-（-5）=6，BC=3-（-1）=4，
AC=

AB2+BC2

=

62+42

=2

13

，
AD=4-（-5）=9，
①如图1，当∠ADE=90°时，∵△ABC∽△ADE，
∴

AB

AD

=

BC

DE

，
即

6

9

=

4

DE

，
解得DE=6，
∴点E的纵坐标为3-6=-3，
∴点E（4，-3）；
②如图2，当∠AED=90°时，∵△ABC∽△AED，
∴

AB

AE

=

AC

AD

，
即

6

AE

=

2 13

9

，
解得AE=

27 13

13

，
过点E作EF⊥AD于点F，
则AF=AE•cos∠BAC=

27 13

13

×

6

2 13

=

81

13

，
EF=AE•sin∠BAC=

27 13

13

×

4

2 13

=

54

13

，
∵

81

13

-5=

16

13

，

54

13

-3=

15

13

，
∴点E（

16

13

，-

15

13

），
综上所述，点E的坐标为（4，-3）或（

16

13

，-

15

13

）．
故答案为：（4，-3）或（

16

13

，-

15

13

）．

点评：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，注意要分情况讨论．