Question

实数k取何值时，一元二次方程x²-（2k-3）x+2k-4=0
（1）有两个正根；
（2）有两个异号根，且正根的绝对值较大；
（3）一个根大于3，一个根小于3．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程有两个实根，则判别式△≥0，并且两根的和大于0，且两根的积大于0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k的不等式组，即可求得k的范围；
（2）根据一元二次方程有两个不相等的实根，则判别式△＞0，并且正根的绝对值较大，则两根的和大于0，且两根的积小于0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k的不等式组，即可求得k的范围；
（3）设方程的两个根分别是x₁、x₂，根据题意，得（x₁-3）（x₂-3）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系即可求得k的取值范围，再根据△＞0确定k的范围．

解答：解：（1）设方程的两个正根为x₁、x₂，则：
△=（2k-3）²-4（2k-4）≥0 ①，
x₁+x₂=2k-3＞0，x₁x₂=2k-4＞0 ②，
解①，得：k为任意实数，
解②，得：k＞2，
所以k的取值范围是k＞2；

（2）设方程的两个根为x₁、x₂，则：
△=（2k-3）²-4（2k-4）＞0 ①，
x₁+x₂=2k-3＞0，x₁x₂=2k-4＜0 ②，
解①，得：k≠

5

2

，
解②，得：

3

2

＜k＜2，
所以k的取值范围是

3

2

＜k＜2；

（2）设方程的两个根为x₁、x₂，则：
△=（2k-3）²-4（2k-4）＞0 ①，
（x₁-3）（x₂-3）＜0 ②，
解①，得：k≠

5

2

，
由②，得：x₁x₂-3（x₁+x₂）+9＜0，
又x₁+x₂=2k-3＞0，x₁x₂=2k-4，
代入整理，得-4k+14＜0，
解得k＞

7

2

．
则k＞

7

2

．

点评：此题主要是一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的运用，在已知方程的一根x₁比常数a大，一根x₂比常数a小的时候，可列（x₁-a）（x₂-a）＜0的不等式分析求解．