Question

已知：如图，在△ABC中，E是内心，延长AE交△ABC的外接圆于点D，弦AD交弦BC于点F．
（1）求证：DE=DB；
（2）当点A在优弧BC上运动时，若DE=2，DF=y，AD=x，求y与x之间的函数关系．

Answer 1

解：（1）连接BE，
∵E为内心，
∴AE，BE分别为∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠BED=∠BAE+∠EBA，∠EBA=∠EBC，∠BAE=∠EAC，
∴∠BED=∠EBC+∠EAC，∠EBD=∠EBC+∠CBD，
∵弧DC=弧DC，
∴∠EAC=∠CBD，
∴∠EBD=∠BED，
∴DE=BD；

（2）由（1）得∠DBC=∠DAC，∠BAD=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAD，
∵∠BDA为共公角，
∴△BDF∽△ADB，
∴，
∴BD²=AD×DF，
∵DF=y，AD=x，DE=2，
∴xy=4，
∴y与x之间的关系式y=．
分析：（1）首先连接BE，由E是内心，易证得∠BED=∠EBC+∠EAC，∠EBD=∠EBC+∠CBD，又由同弧所对的圆周角相等，证得∠EAC=∠CBD，则可得∠EBD=∠BED，即可证得DE=BD；
（2）首先根据有两角对应相等的三角形相似，证得△BDF∽△ADB，则可证得：BD²=AD×DF，将已知线段的长代入即可求得x与y的关系式．
点评：此题考查了圆的内心的性质与三角形相似的判定与性质等知识．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．