Question

【题目】问题探究

将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．

问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，为内部一点，连接，求的最小值．

方法通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直)．

问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，．由，，可知为正三角形，有．

故．因此，当共线时，有最小值是．

学以致用：(1)如图3，在中，，，为内部一点，连接、，则的最小值是__________．

(2)如图4，在中，，，为内部一点，连接、，求的最小值．

(3)如图5，是边长为2的正方形内一点，为边上一点，连接、，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）.

【解析】

（1）将绕点逆时针旋转得到，易知是等边三角形，，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．

（2）将绕点逆时针旋转得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延长线于．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．

（3）如图5中，将绕点逆时针旋转得到，则易知是等边三角形，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“垂线段最短”求最小值．

解：（1）如图3中，

将绕点逆时针旋转得到，

∴≌，∠CAE=PAF=60°，

∴AE=AC=3，AF=AP，

∴是等边三角形，

∵∠BAC=30°，

∴，

在中，，

，

，

的最小值为5．

故答案为5．

（2）如图4中，

将绕点逆时针旋转得到，

∴AF=AP，∠FAP=90°，

∴是等腰直角三角形，

∴FP=，

∵∠BAC=45°，

∴，，

作交的延长线于．

在中，

，，

，

在中，

，

，

的最小值为．

（3）如图5中，将绕点逆时针旋转得到，则易知是等边三角形，

作于，交于．

，

易知，，

，

，

的最小值为．