Question

1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的.

（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的.

Answer 1

（１）证明：过点O作OH⊥AB于点H.

         ∵等边△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC ，OH⊥AB，OE⊥AC

         ∴∠B=∠C=60°，∠BHO=∠BFO=∠CFO=∠CGO=90°， BH=BF=CF=CG，OH=OF=OG

         ∴∠FOH=∠FOG=180°-60°=120°，∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ

　　　 　同理：四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＡＨＯＧ

∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ≌四边形ＡＨＯＧ

∴，

又∵

∴．

     （２）证明：过圆心Ｏ分别作ＯＭ⊥ＢＣ，ＯＮ⊥ＡＣ，垂足为Ｍ、Ｎ.

            则有∠OMF=∠ONG=90°，OM=ON，∠MON=∠FOG=120°

             ∴∠MON-∠FON=∠FOG-∠FON，即∠MOF=∠NOG

             ∴△MOF≌△NOG，∴

             ∴若∠DOE保持120°角度不变，当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的.