Question

【题目】如图1，在中，，，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转交线段CA的延长线于点D．

（1）找出与相等的角，并说明理由．

（2）如图2，，求的值．

（3）在（2）的条件下，若，求线段AB的长．

Answer 1

【答案】（1）；理由见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）．由直角三角形的性质和旋转的性质推知即可；

（2）如图，过点C作交MP于点G．构造全等三角形（）和相似三角形（），根据相似三角形的对应边成比例求得的值．

（3）由（2）中相似三角形的性质和等量代换推知．故．易得．由（2）知，，则．故，．根据题意得到：，所以该相似三角形的对应边成比例：．将相关线段的长度代入求t的值，所以．

（1）．

理由如下：∵，，

∴．

∴．

由旋转的性质知，．

∴；

（2）如图，过点C作交MP于点G．

∴，．

∵，点M是AB的中点，

∴．

∴．

∴．

∵．

∴．

∵，

∴．

在与中，

∴．

∴．

∵．

∴．

∵，

∴．

∴．

设，则，．

在中，．

∴．

∴；

（3）如图，由（2）知．则．

∵．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

由（2）知，，则．

∴，．

∵，．

∴．

∴．

∴，即．

解得，（舍去）．

∴．