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    如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．
    （1）求该抛物线的函数解析式；
    （2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；
    （2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．结论：存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形；
    （3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值．解答中提供了三种求解面积S表达式的方法，殊途同归，可仔细体味．
    解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，
    可得c=0，∴，
    解得a=，b=，
    ∴抛物线解析式为y=x2+x．

    （2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=
    ∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．
    如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
    AG=yA-yM=2-（t2+t）=t2-t+2，BH=PN=．
    当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
    ∴t2-t+2=，
    化简得3t2-8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，
    ∴点P的坐标为（，）
    ∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．

    （3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．
    求得过A、C的直线为yAC=-x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，-a+3），
    易知△OQT∽△OCD，可得QT=，
    ∴点Q的坐标为（a，）．

    解法一：
    设AB与OC相交于点J，
    ∵△A′RQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴=
    ∴HT===2-a，
    KT=A′T=（3-a），A′Q=yA′-yQ=（-a+3）-=3-a．
    S四边形RKTQ=S△A′KT-S△A′RQ
    =KT•A′T-A′Q•HT
    =••（3-a）-•（3-a）•（-a+2）
    =a2+a-=（a-）2+
    由于＜0，
    ∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．

    解法二：
    过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得  ①
    由△RKH∽△A′O′B′，得   ②
    由①，②得KH=OH，
    OK=OH，KT=OT-OK=a-OH   ③
    由△A′KT∽△A′O′B′，得，
    则KT=    ④
    由③，④得=a-OH，即OH=2a-2，RH=a-1，所以点R的坐标为R（2a-2，a-1）
    S四边形RKTQ=S△QOT-S△ROK=•OT•QT-•OK•RH
    =a•a-（1+a-）•（a-1）
    =a2+a-=（a-）2+
    由于＜0，
    ∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．

    解法三：
    ∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，
    ∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（-a+3）•=a+，
    ∴OK=OT-KT=a-（a+）=a-，
    过点R作RH⊥x轴于H，
    ∵cot∠OAB=tan∠RKH==2，
    ∴RH=2KH
    又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，
    ∴2RH=OK+KH=a-+RH，
    ∴RH=a-1，OH=2（a-1），
    ∴点R坐标R（2a-2，a-1）
    S四边形RKTQ=S△A′KT-S△A′RQ=•KT•A′T-A′Q•（xQ-xR）
    =••（3-a）-•（3-a）•（-a+2）
    =a2+a-=（a-）2+
    由于＜0，
    ∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．
    点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、等腰梯形、相似三角形、图形的平移以及几何图形面积的求法，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力．
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    （2）若M是DC上一点，且DM=2，求DN+MN的最小值；
    （注：计算时可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C=90°，则AB2=AC2+BC2）
    （3）若点P在射线BC上，且NB=NP，求证：NP⊥ND．

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    （1）求该抛物线的函数解析式；
    （2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

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    		2
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    （1）求直线AD的函数解析式；
    （2）试探究在△ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及t的取值；若不存在，请说明理由；
    （3）以MN为边，在E′D′的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时t的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：2013届四川德阳市中江县柏树中学九年级下学期第一次月考试数学试卷（带解析） 题型：解答题

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    （1）求该抛物线的函数解析式；
    （2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

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