Question

如图，BC是⊙O的直径，P为⊙O上一点，点A是

BP

的中点，AD⊥BC，垂足为D，PB分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）若∠BAD=36°，求∠ACB，∠ABP；
（2）如果AE=3，求BE．

Answer 1

分析：（1）要求∠ACB的度数，根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形ABC，再结合AD⊥BC，根据等角的余角相等即可求解；要求∠ABP的度数，根据等弧所对的圆周角相等，则∠ABP=∠ACB．
（2）在（1）的基础上，即可发现等腰三角形ABE．

解答：解：（1）因为BC是⊙O的直径
所以∠CAB=90°
所以∠ABD+∠ACB=90°
因为AD⊥BC
所以∠ABD+∠BAD=90°
所以∠ACB=∠BAD=36°
因为A是

BP

的中点，则

AB

=

AP

所以∠ABP=∠ACB=36°．

（2）因为∠ABP=∠ACB，∠BAD=∠ACB
所以∠ABP=∠BAD
因为AE=3
所以BE=3．

点评：综合运用了圆周角定理的推论、等角的余角相等、等角对等边的性质．