Question

如图，抛物线C₁：y=（x+m）²（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x²，使其顶点D在抛物线C₁位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C₂．抛物线C₂交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．

（1）如图1，若m=．
①当OC=2时，求抛物线C₂的解析式；
②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．

Answer 1

(1) ①y=﹣x²+x+2．②．（2）P₁（﹣m，1），P₂（﹣m，﹣3），P₃（﹣﹣m，3），P₄（3﹣m，3）．

试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C₂的解析式（含有未知数a），然后利用点C（0，2）在C₂上，求出抛物线C₂的解析式；
②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；
（2）解题要点有3个：
i）判定△ABD为等边三角形；
ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；
iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．
试题解析：（1）当m=时，抛物线C₁：y=（x+）²．
∵抛物线C₂的顶点D在抛物线C₁上，且横坐标为a，
∴D（a，（a+）²）．
∴抛物线C₂：y=﹣（x﹣a）²+（a+）²（I）．
①∵OC=2，∴C（0，2）．
∵点C在抛物线C₂上，
∴﹣（0﹣a）²+（a+）²=2，
解得：a=，代入（I）式，
得抛物线C₂的解析式为：y=﹣x²+x+2．
②在（I）式中，
令y=0，即：﹣（x﹣a）²+（a+）²=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；
令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：
，解得，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．
假设存在满足条件的a值．
∵AP=BP，
∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C₂的对称轴上；
∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，
∴OP⊥BC．
如图1所示，设C₂对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，
则OP⊥BC，OE=a．

∵点P在直线BC上，
∴P（a，a+），PE=a+．
∵tan∠EOP=tan∠BCO=，
∴，
解得：a=．
∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"
（3）∵抛物线C₂的顶点D在抛物线C₁上，且横坐标为a，
∴D（a，（a+m）²）．
∴抛物线C₂：y=﹣（x﹣a）²+（a+m）²．
令y=0，即﹣（x﹣a）²+（a+m）²=0，解得：x₁=2a+m，x₂=﹣m，∴B（2a+m，0）．
∵OB=2﹣m，
∴2a+m=2﹣m，
∴a=﹣m．
∴D（﹣m，3）．
AB=OB+OA=2﹣m+m=2．
如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．

∵tan∠ABD=，
∴∠ABD=60°．
又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．
作∠ABD的平分线，交DE于点P₁，则P₁E=BE•tan30°=×=1，
∴P₁（﹣m，1）；
在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P₂、P₃、P₄．
在Rt△BEP₂中，P₂E=BE•tan60°=•=3，
∴P₂（﹣m，﹣3）；
易知△ADP₃、△BDP₄均为等边三角形，∴DP₃=DP₄=AB=2，且P₃P₄∥x轴．
∴P₃（﹣﹣m，3）、P₄（3﹣m，3）．
综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，
其坐标为：P₁（﹣m，1），P₂（﹣m，﹣3），P₃（﹣﹣m，3），P₄（3﹣m，3）．
【考点】二次函数综合题．