Question

在△ADE中，AE=AD且∠AED=∠ADE，∠EAD=90°．

（1）如图（1），若EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请你判断AB、AC是否相等，并说明理由；
（2）△ADE的位置保持不变，将（1）中的△ABC绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，CD、BE相交于O，请你判断线段BE与CD的位置关系及数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CD=8，试求四边形CEDB的面积．

Answer 1

解：（1）AB=AC．
理由如下：∵EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，
∴∠AEC=∠AED，∠ADB=∠ADE，
∵∠AED=∠ADE，
∴∠AEC=∠ADB，
在△AEC和△ADB中，，
∴△AEC≌△ADB（ASA），
∴AB=AC；

（2）BE=CD且BE⊥CD．
理由如下：∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EAD+∠BAD=∠BAC+∠BAD，
即∠EAB=∠DAC，
在△AEB和△ADC中，，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴EB=CD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°，
∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°，
∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180°，
∴∠DOE=90°，
∴BE⊥CD；

（3）S_{四边形CEDB}=S_△BCD+S_△CDE=CD•BO+CD•EO，
=CD•（BO+EO），
=CD•BE，
=CD²，
∵CD=8，
∴四边形CEDB的面积=×8²=×64=32．
分析：（1）根据角平分线的定义求出∠AEC=∠ADB，然后利用“角边角”证明△AEC与△ADB全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）先根据∠EAD=∠BAC证明∠EAB=∠DAC，然后利用“边角边”证明△AEB和△ADC全等，再根据全等三角形对应边相等可得BE=CD，全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠ADC，然后证明∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°，再根据三角形内角和定理可得∠DOE=90°，从而证明BE⊥CD；
（3）把四边形的面积分成△BCD与△CDE两个三角形，然后根据三角形的面积公式列式整理为四边形的面积等于CD²，再代入数据进行计算即可得解．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，以及旋转变换的性质，准确识图，找出三角形全等的条件是解题的关键．