Question

【题目】已知，四边形是平行四边形，，是上一点，满足于点，连接．

（1）如图，连接，若，求的周长；

（2）如图，延长，交于点，若．求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

(1)因为四边形ABCD是平行四边形，可知AB=CD=，结合题目条件利用勾股定理即可得到，，从而得到△ADE的周长；

(2) 过点作于点，根据题目条件可证的△CDH≌△ABF≌△EFC，根据全等三角形的性质，可得四边形AHCF是正方形，BF=EF=HD，证得△BEF是等腰直角三角形，从而得出结论．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=

∴AB=CD=

∵，

∴

∴

∵，

∴

又∵

∴

(2)过点作于点，如图所示

∵四边形ABCD是平行四边形，AF⊥BC

∴CH=AF

在Rt△CHD和Rt△AFB中

(HL)

∴BF=HD

∵∠HCE+∠HCD=90°，∠HCE+ECF=90°

∴∠HCD= ECF

在△EFC和△HCD中

∴△EFC≌△HCD

∴△ABF≌△EFC

∴BF=EF=HD

∴HC=FC=AF=AH，∠FAH=90°

∴四边形AFCH是正方形

∴∠EBF=45°

∵AD∥BC

∴∠AGB=45°

∴AE=AG

∴EF=GH

∴DG=2HD