Question

我们知道：对于任何实数x，①∵x²≥0，∴x²+1＞0；   ②∵（x-1）²≥0，∴x²-2x+

3

2

=（x-1）²+

1

2

＞0；模仿上述方法解答：
（1）求证：对于任何实数x，总有：2x²+4x+3＞0；
（2）我们还知道，如果a-b＞0，那么a＞b，运用这条性质，求证：不论x为何实数，多项式3x²-5x-1的值总大于2x²-4x-7的值．

Answer 1

分析：（1）将代数式前两项提取2，配方后根据完全平方式为非负数，得到代数式大于等于1，即对于任何实数x，代数式2x²+4x+3的值总大于0，得证．
（2）证明多项式3x²-5x-1的值总大于2x²-4x-2的值时，可以证明3x²-5x-1-（2x²-4x-2）＞0

解答：证明：（1）∵对于任何实数x，（x+1）²≥0，
∴2x²+4x+3
=2（x²+2x）+3
=2（x²+2x+1）+1
=2（x+1）²+1≥1＞0．

（2）∵3x²-5x-1-（2x²-4x-7）
=3x²-5x-1-2x²+4x+7
=x²-x+6
=（x-

1

2

）²+5

3

4

＞0
∴多项式3x²-5x-1的值总大于2x²-4x-7的值．

点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关键．