Question

【题目】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．

(1)求二次函数的解析式；

(2)在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；

(3)若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)抛物线解析式y=x2–x+1；(2)点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）；(3)a=或．

【解析】

(1) 将B、C两点坐标代入二次函数解析式,通过联立方程组可求得b、c的值，进而求出函数解析式;

(2)设P（x，0），由△PBC是直角三角形，分∠CBP=90°与∠BPC=90°两种情况讨论，运用勾股定理可得x的值，进而得到P点坐标;

(3)假设成立有△APQ∽△ADB或△APQ∽△ABD,则对应边成比例，可求出a的值.

(1)∵二次函数y=0.5x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，

∴，解得，

∴抛物线解析式y=x2–x+1．

(2)设点P坐标为（x，0）．

∵点P（x，0），点B（0，1），点C（4，3），

∴PB==，

CP= =，

BC= =2，

若∠BCP=90°，则BP2=BC2+CP2．

∴x2+1=20+x2–8x+25，∴x=．

若∠CBP=90°，则CP2=BC2+BP2．

∴x2+1+20=x2–8x+25，∴x=．

若∠BPC=90°，则BC2=BP2+CP2．

∴x2+1+x2–8x+25=20，

∴x1=1，x2=3，

综上所述：点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）．

(3)a=或．

∵抛物线解析式y=x2–x+1与x轴交于点D，点E，

∴0=x2–x+1，∴x1=1，x2=2，∴点D（1，0）．

∵点B（0，1），C（4，3），

∴直线BC解析式y=x+1．

当y=0时，x=–2，∴点A（–2，0）．

∵点A（–2，0），点B（0，1），点D（1，0），

∴AD=3，AB=．

设经过t秒，∴AP=2t，AQ=at，

若△APQ∽△ADB，

∴，即，∴a=，

若△APQ∽△ABD，∴，即，∴a=．

综上所述：a=或．