Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象经过点B，且与x轴交于点D和点E，已知点A（-2，0）、B（0，2）、D（1，0）和E（m，0）．
（1）写出直线AB的函数表达式；
（2）求b、c的值；
（3）求m的值；
（4）直线AB上有点C，其横坐标为4，那么点C是抛物线上的点吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）设出直线AB解析式为y=kx+b，把A和B的坐标代入，得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到k与b的值，从而确定出直线AB的函数表达式；
（2）因为二次函数图象过B和D两点，故把这两点坐标代入二次函数解析式中，得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值；
（3）又E在二次函数图象上，把E的坐标代入到第二问得到的二次函数解析式中，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值；
（4）C是抛物线上的点，理由为：根据C的横坐标为4，代入第一问求出的直线AB解析式中求出C的纵坐标，确定出C的坐标，然后把横坐标代入到二次函数解析式中求出对应的函数值，发现其函数值等于C的纵坐标，故C在抛物线上．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（-2，0），B（0，2）两点的坐标代入得：

-2k+b=0 b=2

，解得

k=1 b=2

，
则直线AB的函数表达式为y=x+2；

（2）把B（0，2）及D（1，0）代入二次函数解析式y=x²+bx+c得：

c=2 1+b+c=0

，解得：

b=-3 c=2

，
则b=-3，c=2；

（3）由（2）得到的b=-3，c=2，确定出二次函数解析式为y=x²-3x+2，
又E（m，0）在二次函数图象上，
所以把E坐标代入二次函数解析式得：m²-3m+2=0，即（m-1）（m-2）=0，
解得m=1（舍去）或m=2，
则m的值为2；

（4）C为二次函数图象上的点，理由为：
因为C为直线AB上的点，且横坐标为4，
所以把x=4代入直线AB解析式y=x+2中得：y=6，
所以C（4，6），
把x=4代入二次函数解析式y=x²-3x+2得：y=16-12+2=6，
故C在二次函数图象上．

点评：此题考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，以及会判断一个点是否在一个函数图象上，利用待定系数法的步骤是：根据函数的类型设出函数解析式，把函数图象上的点代入设出的解析式中，确定出解析式中的常量，进而得到函数解析式，可总结为“设”，“代”，“求”，“答”四步骤．判断一个点是否在函数图象上的方法可以把这个点的横坐标代入函数解析式求出的函数值y，与已知点的纵坐标是否相等来决定点是否在函数图象上．