Question

抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求D和E的坐标，并求四边形ABDE的面积．

Answer 1

解：（1）由图象得：
A点坐标为（-1，0），B点坐标为（0，3），C点坐标为（2，3），
代入y=ax²+bx+c得：
，
解得：，
∴函数解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵函数解析式为y=-x²+2x+3，
∴y=-x²+2x+3，
=-（x²-2x）+3，
=-[（x²-2x+1）-1]+3，
=-（x-1）²+4，
所以顶点坐标为：D（1，4）；
∵函数解析式为y=-x²+2x+3，与x轴的另一个交点为E，
顶点坐标为：D（1，4），可得出对称轴为x=1，A点坐标为（-1，0），
利用二次函数的对称性，可得出E点的坐标为（3，0），
连接AB，BD，DE，OD，做DM⊥OB，DN⊥OE，
四边形ABDE的面积：
s=△AOB+△BOD+△DOE，
=AO×OB+OB×MD+OE×DN，
=×1×3+×3×1+×3×4，
=9．
分析：（1）结合图象得出A，B，C的点的坐标，运用待定系数法，代入y=ax²+bx+c求出解析式；
（2）利用配方法求出二次函数的顶点坐标与对称轴，利用二次函数的对称性得出与x轴的另一个交点，再将四边形ABDE分割成三个三角形从而得出面积．
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的对称性和顶点坐标求法，求四边形面积需要分割成三角形求出，这种做法在今后的学习中会经常遇到．