Question

（2013•闸北区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点M、N分别在边AO和边OD上，且AM=

2

3

AO，ON=

1

3

OD，设

AB

=

a

，

BC

=

b

，试用

a

、

b

的线性组合表示向量

OM

和向量

MN

．

Answer 1

分析：根据平行四边形法则求出

AC

，再根据平行四边形的对角线互相平分表示

AO

，然后根据OM=

1

3

AO，再表示出

OM

即可；
根据平行线分线段成比例定理求出MN∥AD，并求出

MN

AD

=

1

3

，然后根据向量的表示

MN

=

1

3

AD

即可得解．

解答：解：根据平行四边形法则，

AC

=

AB

+

BC

=

a

+

b

，
∵平行四边形ABCD，
∴AO=

1

2

AC，
∴

AO

=

1

2

AC

=

1

2

（

a

+

b

），
∵AM=

2

3

AO，
∴OM=

1

3

AO，
∴

OM

=-

1

3

AO

，
∴

OM

=-

1

3

×

1

2

（

a

+

b

）=-

1

6

a

-

1

6

b

；

∵AM=

2

3

AO，ON=

1

3

OD，
∴

OM

OA

=

ON

OD

=

1

3

，
∴MN∥AD，
∴

MN

AD

=

OM

OA

=

1

3

，
∴

MN

=

1

3

AD

，
又∵平行四边形ABCD，
∴

AD

=

BC

=

b

，
∴

MN

=

1

3

b

．

点评：本题是对向量的考查，主要利用了平行四边形法则，平行四边形的对角线互相平分的性质，平行线分线段成比例定理，要注意线性组合的特点的利用．