Question

如图，射线AM⊥AN于点A，点C、B在AM、AN上，D为线段AC的中点，且DE⊥BC于E点．
（1）若BC=8，△ABC的面积为9．①直接写出AC²+AB²的值；②求△ABC的周长；
（2）若AB=6，C点在射线AM上移动，问此过程中，BE²-CE²的值是否会为定值？若会，请求出这个定值；若不会，请求出它的取值范围．

Answer 1

解：（1）①AC²+AB²=BC²=64．
②如图，∵AM⊥AN，
∴△ABC是直角三角形，
∵△ABC的面积为9，
∴，即2AC•AB=36，
由①可知：AB²+AC²=64，
∴AB²+2AB•AC+AC²=100，
∴（AB+AC）²=100，
∵AB+AC＞0，
∴AB+AC=10
∴AB+AC+BC=18即△ABC的周长为18．
（2）连结BD，

在Rt△BDE中，BE²=BD²-DE²…①
在Rt△DEC中，EC²=DC²-DE²…②
①-②得：BE²-EC²=BD²-DC²，
∵AD=DC，
∴BE²-EC²=BD²-AD²，
在Rt△ABD中，BD²-AD²=AB²=6²=36，
∴BE²-EC²=36（定值），
故在点C移动过程中，BE²-EC²的值是定值，其值是36．
分析：（1）①利用勾股定理可得出AC²+AB²的值；
②利用完全平方公式的知识，结合①可得出AB+AC，继而得出△ABC的周长；
（2）连结BD，利用勾股定理可得出BE²、BC²，求出BE²-CE²的值即可作出判断．
点评：本题考查了勾股定理、平方差公式及完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，并能利用平方差公式及完全平方公式进行变形，难度一般．