Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=AC，过点B作射线BP交AD、AC分别于E、F，与过C点平行于AB的直线交于点P。
（1）求证：EB²=EF·EP；
（2）若过B点的射线交AD、AC的延长线分别于E、F，与过C点平行于AB的直线交于P点，则结论（1）是否仍然成立？如果成立，请给出证明。

Answer 1

解：（1）证明：连接EC， ∵AB∥PC， ∴∠ABF=∠P ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠ABF=∠ACE，EB=EC ∴∠P=∠ACE 又∵∠FEC为△PEC和△CEF的公共角， ∴△PEC∽△CEF ∴ ∴EC2=EF·EP ∴EB2=EF·EP； （2）成立； 证明：连接EC， ∵AB∥PC， ∴∠ABF=∠CPF， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠ABF=∠ACE，EB=EC， ∴∠CPF=∠ACE， ∴∠ECF=∠CPE， ∴△PEC∽△CEF， ∴， ∴EC2=EF·EP， ∴EB2=EF·EP。