Question

已知，如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于D，取AC中点E，连结OE，ED的延长线与CB的延长线交于F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径为3cm，ED=4cm，求sin∠F的值．

Answer 1

证明：（1）如图，连结OD，
则OD=OC=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵E为AC的中点，O是CB的中点，
∴OE∥AB，
∴∠COE=∠CBA，∠EOD=∠ODB，
∴∠COE=∠EOD，
∵在△OCE和△ODE中，

∴△OCE≌△ODE（SAS），
∴∠ODB=∠OCE=90°，
即ED⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是圆O的切线．

（2）解：由OC=OD=OB=3cm，
ED=EC=4cm，
∵∠F=∠F，∠FCE=∠FDO，
∴△FDO∽△FCE，
∴==，
设FD=x，
=，
x=，
∴EF=+4=，
∴sin∠F==．
分析：（1）连接OD，求出OE∥AB，根据平行线性质和角平分线定义推出∠COE=∠EOD，证△OCE≌△ODE，推出∠ODB=∠OCE=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）证△FDO∽△FCE，推出==，设FD=x，代入求出x，求出EF，根据锐角三角函数的定义求出即可．
点评：本题考查了切线的判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，综合性比较强．