Question

已知抛物线y=-x²+bx-12与x轴相交于A（m，0）、B（n，0）两点，其中m、n满足（m-1）（n-1）-5=0（m≠n）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）画出函数的图象与对称轴，设Q是抛物线的对称轴上的任意一点，以Q为圆心，QB长为半径作圆，过坐标原点O作⊙Q的切线OC，C为切点，求OC的长；
（3）特别地，要使切点C′恰好在抛物线上，应如何确定点C′的位置和圆心Q′的位置？简述你的作法并在图中把⊙Q′与切线OC′作出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，写作法，但不用证明）．

Answer 1

解：（1）∵依题意知m、n是方程-x²+bx-12=0的两根．
∴m+n=b，mn=12，
∵（m-1）（n-1）-5=0．
∴mn-（m+n）-4=0，
∴12-b-4=0，
∴b=8，
∴抛物线的解析式是y=-x²+8x-12；

（2）∵由（1）知，抛物线的解析式是y=-x²+8x-12，
∴解方程-x²+8x-12=0，得x₁=2，x₂=6
∴OA=2，OB=6（或OA=6，OB=2）
抛物线的图象如图所示，
∵Q在抛物线的对称轴上，
∴QA=QB．
∴点A在⊙Q上，
∵OC是⊙Q的切线，
∴OC²=OA•OB=2×6=12
∴OC=2；

（3）作法：①以O为圆心，OC长为半径作弧，交抛物线于C′，C′就是所求的切点．
②作AC′的垂直平分线交抛物线的对称轴于Q′，点Q′就是所求的圆心．
③以Q′为圆心Q′B（或Q′C′，或Q′A）长为半径作圆，作直线OC′，则OC′与⊙Q′相切于C′．
分析：（1）依题意知m、n是方程-x²+bx-12=0的两根，由根与系数的关系可得出m+n及mn的值，再由m、n满足（m-1）（n-1）-5=0（m≠n）可求出b的值，进而得出抛物线的解析式；
（2）由（1）知，抛物线的解析式是y=-x²+8x-12，解方程-x²+8x-12=0可得出OA，OB的值，由点Q在抛物线的对称轴上可知QA=QB，即点A在⊙Q上，根据
切线长定理即可得出OC的长；
（3）①以O为圆心，OC长为半径作弧，交抛物线于C′，C′就是所求的切点．
②作AC′的垂直平分线交抛物线的对称轴于Q′，点Q′就是所求的圆心．
③以Q′为圆心Q′B（或Q′C′，或Q′A）长为半径作圆，作直线OC′，则OC′与⊙Q′相切于C′．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到韦达定理、切割线定理及用待定系数法求二次函数的解析式等相关知识，难度适中．