Question

【题目】如图，抛物线 交 轴于 两点，交 轴于点 ， ．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若 是抛物线的第一象限图象上一点，设点 的横坐标为m，
点 在线段 上，CD=m，当 是以 为底边的等腰三角形时，求点 的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在抛物线上一点 ，使 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解:(Ⅰ) ∵当 =0时, =4,
∴C(0,4) ，OB=4OA， CBO=45°
∴OC=OB=4, OA=1 A(-1,0) ，B(4,0)
设 ， 解得： =-1,

(Ⅱ) 设P(m,-m2+3m+4)，PCD是以CD为底边的等腰三角形时，过点P作PE⊥CD于E，CD=m CE=DE，OE=4- m,

∴4- m=-m2+3m+4 m>0 m=
∴P（ ， ）
(Ⅲ)假设存在，过点P作PE⊥CD于点E，且交CB于H，过点P作PF⊥AB于F,

P（ ， ）这时CD=3.5 ，D(0,0.5)
可求出直线PD的解析式: 可知直线PD 过点A(-1,0)
若设∠APQ2=∠BCP= ∠CPE=∠EPA=∠PAB= ， CBO= CHE= 45°,
又 CHE= +
∴ + =45°= EPG = PGF
∴PF=FG= ，OG= - =
∴G( ,0), 可求出直线PG的解析式:
由
解得x1 = ， x2= (舍去)
∴ Q2（ ， ）
作点G关于直线AP的对称点S,

由于PD的解析式:
∴设GS的解析式： 过点G，得出 = ， ， 联立得： ，解得：
求出点K（ ， ）
∵点K为SG的中点,求出S( , ) P（ ， ） ∴PS的解析式为:
∴ ，解得: （舍去） ， ，
∴Q1（ ， ）
【解析】(Ⅰ) 利用当 x =0时, y =4,可知C(0,4)，结合∠ CBO=45°，得出B(4,0)，利用待定系数法即可求出解析式.
(Ⅱ) 根据题意可设P(m,-m2+3m+4)，利用等腰三角形的性质得解.
(Ⅲ)充分利用 ∠ PCB = ∠ APQ ，利用交点联立函数解析式为方程组，解出点Q的坐标，此小题注意不要丢情况.