Question

已知直线y=2x-4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线过点A，C和另一点B（-1，0）．
（1）求此抛物线的解析式，并画出它的图象；
（2）在直线AC上求一点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOC相似；
（3）设抛物线的顶点为M，在抛物线上是否存在点Q，使△ABQ的面积等于△AMC的面积的4倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知直线的解析式，可求得A、C的坐标，然后根据A、B、C三点坐标，可利用待定系数法求出该抛物线的解析式．
（2）在Rt△AOC中，OC=2OA，若以点A，B，P为顶点的三角形与△AOC相似，那么△ABP也必为直角三角形，且直角边的比为1：2，由于∠BAP不是直角，因此要分类两种情况考虑：
①∠ABP=90°，过B作x轴的垂线，交直线AC于P，此时BP=2AB，符合题意，将B点横坐标代入直线AC的解析式中，即可得到点P的坐标；
②∠APB=90°，过B作直线AC的垂线，此时BP=2AP，也符合题意，过P作PH⊥x轴于H，首先根据相似三角形：Rt△AOC∽Rt△APB求出AP的长，进而根据Rt△APH∽Rt△ABP求出AH的长，从而根据OH=OA-AH求得P点横坐标，将其代入直线AC的解析式中，即可得到P点坐标．
（3）根据抛物线的解析式，易求得顶点M的坐标，分析图形，可过M作MF⊥x轴，由梯形MCOF、△AFM的面积和再减去△AOC的面积就可得到△AMC的面积，进而可求出△ABQ的面积，而AB的长易求得，根据三角形的面积公式，即可求得Q点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可得到Q点坐标．
解答：解：（1）令x=0，则y=-4；令y=0，则2x-4=0，从而x=2，
∴A点坐标为（2，0），C点坐标为（0，-4）；
∵抛物线过点A（2，0），B（-1，0），
∴y=a（x-2）（x+1），（2分）
又抛物线过点C（0，-4），
∴a•（-2）×1=-4，
∴a=2；（3分）
∴所求抛物线的解析式为y=2（x-2）（x+1）=2x²-2x-4．（4分）
∵=，
∴它的图象如图所示；（5分）

（2）∵△AOC是直角三角形，且|OA|=2，|OC|=4，
所作三角形必须是直角三角形，且两直角边的比是1：2；
①如图，过点B作BP₁⊥x轴，交直线AC于P₁，（6分）
则由BP₁∥OC知Rt△ABP₁∽Rt△AOC；
∴P₁点的横坐标是-1，
∴P₁点的纵坐标是y=2×（-1）-4=-6；
∴P₁点的坐标是（-1，-6）．（7分）
②∵|OA|=2，|OC|=4，
∴；
作BP₂⊥AC于P₂，如图，（8分）
∵∠AOC=90°，∠AP₂B=90°，又∠CAO=∠BAP₂，
∴Rt△AOC∽Rt△AP₂B；
∴，
∴；
作P₂H⊥AB于H，则Rt△AP₂H∽Rt△ABP₂；
∴，
∴；
∴；（9分）
把代入y=2x-4，得；
∴P₂点的坐标为；
∴在直线AC上存在两点P₁（-1，-6），，使△ABP与△AOC相似．（10分）

（3）∵抛物线的顶点是，
∴它的对称轴是直线．（11分）
假设在抛物线y=2x²-2x-4上存在点Q，使S_△ABQ=4S_△AMC；
设点Q的坐标为（x，y），对称轴与x轴交于，
则S_△AMC=S_{四边形AOCM}-S_△AOC=S_△AFM+S_梯形FOCM-S_△AOC
==；（12分）
又△ABQ的面积S_△ABQ满足S_△ABQ=4S_△AMC
∴
∴，
∴|y|=4，
∴y=±4；（13分）
当y=4时，2x²-2x-4=4，即x²-x-4=0，
解之得；
当y=-4时，2x²-2x-4=-4即2x²-2x=0，
解之得x=0或x=1；
因此，在抛物线y=2x²-2x-4上存在点Q，使S_△ABQ=4S_△AMC，此时点Q的坐标为，，
（0，-4），（1，-4）．（14分）
（注：表示“线段的长”不用“||”号，均不扣分）
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，（2）题中，由于相似三角形的对应角和对应边不确定，一定要分类讨论，以免漏解．