Question

已知：如图AB∥CD，AD∥CE，且∠ACB=90°，E为AB的中点．
①试说明DE与AC互相平分；
②探究：当四边形AECD是正方形时，求∠B的度数；
③探究：当四边形ABCD是等腰梯形，求∠B的度数．

Answer 1

证明：①连接DE，
∵AB∥CD，AD∥CE
∴四边形AECD是平行四边形
∴DE与AC互相平分；

②∵四边形AECD是正方形
∴CE⊥AB
∵在Rt△ACB中，E为AB的中点．
∴CE=EB
∴∠B=45°；

③∵在Rt△ACB中，E为AB的中点
∴CE=AE=BE
∵四边形AECD是平行四边形
∴CE=AD
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴AD=BC
∴BC=CE=BE
∴△EBC是等边三角形
∴∠B=60°．
分析：①可通过证四边形ADCE是平行四边形，来得出DE与AC互相平分的结论；
②当四边形AECD是正方形时，∠CAB=45°，即△CAB是等腰Rt△，由此可求出∠B的度数；
③当四边形ABCD是等腰梯形时，AD=BC=CE，可证得三角形BEC是等边三角形，由此可得出∠B的度数．
点评：本题涉及的知识点有：平行四边形的判定，平行四边形、正方形、等腰梯形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等．