Question

【题目】如图，是的弦，为半径的中点，过作交弦于点，交于点，且是的切线.

(1)求证：；

(2)连接，，求；

(3)如果，，，求的半径.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)的半径为．

【解析】

(1)连接OB，根据切线的性质得到根据等角的余角相等得到对顶角相等得到，等量代换得到即可证明.
(2)连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数,即可求解.

(3)过点作于点,根据等腰三角形的性质得到，在中, 设,,则，证明，根据相似三角形的性质得到 即，解得，求出，即可求出的半径为．

(1)证明：如图，连接OB

∵

∴

∵切⊙O于

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴

(2)解：连接,,

∵,

∴

∵

∴

∴是等边三角形

∴

∴

∴

(3)过点作于点

∵

∴

∵在中,

设,,则

∵,

∴

又∵

∴

∴ 即

∴

∴

∴ 即的半径为．