Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．
（1）在△ABC中，AB=

 

；
（2）当x=

 

时，矩形PMCN的周长是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理求AB；
（2）利用MP∥BC和NP∥AC，可得到

PM

BC

=

AP

AB

，

PN

AC

=

BP

AB

，将AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x
代入式中就能得到PM和PN关于x的表达式．再由矩形周长=2（PM+PN），求出x的值．
（3）当P为AB的中点时，△PAM的面积与△PBN的面积才相等，再求出矩形PMCN的面积，进行判断．

解答：解：（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10．

（2）∵PM⊥AC  PN⊥BC
∴MP∥BC   AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴

PM

BC

=

AP

AB

，

PN

AC

=

BP

AB

∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，
∴PM=

BC•AP

AB

=

6

10

x=

3

5

x
PN=

AC•BP

AB

=

8

10

(10-x)=

4(10-x)

5

=8-

4x

5

∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（

3

5

x+8-

4

5

x）=14．
∴x=5．

（3）∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNB=90°，
∴AC∥PN．
∴∠A=∠NPB．
∴△AMP∽△PNB．
∴当P为AB中点，即AP=PB时，△AMP≌△PNB，
此时，S_△AMP=S_△PNB=

1

2

AM•MP=

1

2

×4×3=6，
而矩形PMCN面积=PM•MC=3×4=12，
∴不存在能使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN面积同时相等的x的值．

点评：本题考查了相似三角形性质、面积和矩形面积．