Question

【题目】已知，如图1，在中，，，，若为的中点，交与点.

（1）求的长.

（2）如图2，点为射线上一动点，连接，线段绕点顺时针旋转交直线与点.

①若时，求的长：

②如图3，连接交直线与点，当为等腰三角形时，求的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，； ②，.

【解析】

（1）先利用相似三角形性质求得∽，并利用相似比即可求的长；

（2）①由题意分点在线段上，点在射线上，利用相似三角形性质进行分析求值；

②利用三角函数以及等腰三角形性质综合进行分析讨论.

解：（1）∵，，

∴∽

∴

∵，

∴

∴

（2）①（）点在线段上

∵，

∴为的中点

∵为的中点

∴

∵，

∴

∴是的中位线

∴

（）点在射线上

∵为的中点，

∴

由（1）可得∽

∴，

∴

∵，

∴

∴∽

∴

∴

综上所述：的长为，

②由上问可得，∽

∴

∵

∴

∵，

∴

∴∽

为等腰三角形，则为等腰三角形.

（）时

在延长线上，不符合题意，舍去

（）

（），

则点与点重合

综上所述：的长为，