Question

如图，在直角坐标系中，半径为1的⊙A圆心与原点O重合，直线l分别交x轴、y轴于点B、点C，若点B的坐标为（6，0）且tan∠ABC=

4

3

．
（1）若点P是⊙A上的动点，求P到直线BC的最小距离，并求此时点P的坐标；
（2）若点A从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿着线路OB-BC-CO运动，回到点O停止运动，⊙A随着点A的运动而移动．
①求⊙A在整个运动过程中所扫过的面积；
②在⊙A整个运动过程中，⊙A与△OBC的三边相切有

6

种不同的情况，分别写出不同情况下，运动时间t的取值

1、

19

4

、

29

4

、

43

3

、

53

3

、23

．

Answer 1

分析：（1）利用点B的坐标为（6，0）且tan∠ABC=

4

3

，即可得出C点坐标，进而利用△OPH∽△CBO，求出P点坐标即可；
（2）①利用⊙A在整个运动过程中所扫过的面积=矩形DROC面积+矩形OYHB面积+矩形BGFC面积+△ABC面积+一个圆的面积-△LSK面积，求出即可；
②利用相似三角形的判定与性质得出t的值即可，注意利用数形结合得出．

解答：解：（1）∵点B的坐标为（6，0）且tan∠ABC=

4

3

，
∴

AC

AB

=

4

3

，
∴

AC

6

=

4

3

，
∴AC=8，
故C点坐标为：C（0，8），
∴BC=10，
过O作OG⊥BC于G，
则OG与⊙A的交点即为所求点P．
过P作PH⊥x轴于H，
∵PH⊥AB，
∴∠OHP=90°，
∵∠POH+∠COP=90°，∠POC+∠OCG=90°，
∴∠POH=∠OCG，
又∵∠COB=90°，
∴△OPH∽△CBO，
∴

OP

BC

=

PH

OB

=

HO

OC

=

1

10

，
可得PH=

3

5

，OH=

4

5

，
∴P(

4

5

，

3

5

)；

（2）①如图2所示：当圆分别在O，B，C位置时，作出公切线DR，YH，FG，PW，切点分别为：D，R，H，G，F，P，W
连接CD，CF，BG，过点K作KX⊥BC于点X，PW交BC于点U，
∵PU∥OB，
∴∠OBC=∠KUX，
∵∠KXU=∠COB=90°，
∴△COB∽△KXU，
∵KX=1，BC=

82+62

=10，
∴

CO

KX

=

BC

KU

，
∴

8

1

=

10

KU

，
解得：KU=

5

4

，
∵PU∥BO，
∴△CPU∽△COB，
∴

CP

CO

=

PU

BO

，
∴

7

8

=

PU

6

，
解得：PU=

21

4

，
则SK=

21

4

-

5

4

-1=3，
同理可得出：△LSK∽△COB，
∴

LS

OC

=

SK

BO

，
∴

LS

8

=

3

6

，
解得：LS=4，
则∠CDR=∠CFG=∠BGF=∠BHY=∠AYH=90°，
故⊙A在整个运动过程中所扫过的面积
=矩形DROC面积+矩形OYHB面积+矩形BGFC面积+△ABC面积+一个圆的面积-△LSK面积，
=1×8+1×6+1×10+

1

2

×6×8+π-

1

2

×3×4
=42+π；

②如图3所示：⊙A与△OBC的三边相切有6种不同的情况，
 当⊙O₂与BC相切于点N，
则O₂N⊥BC，
∵∠OBC=∠O₂BN，∠O₂NB=∠COB=90°，
∴△O₂NB∽△COB，
∴

O2N

CO

=

O2B

BC

，
∴

1

8

=

O2B

10

，
解得：O₂B=

5

4

，
则OO₂=6-

5

4

=

19

4

，则t的值为：

19

4

秒，
同理可得出：O₃，O₄，O₅的位置，即可得出时间t的值，
故t=1、

19

4

、

29

4

、

43

3

、

53

3

、23．
故答案为：6； 1、

19

4

、

29

4

、

43

3

、

53

3

、23．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键，注意不要漏解．