Question

（2013•尤溪县质检）如图①，在⊙O中AB是直径，D是上半圆中点，E是下半圆中点，点C是⊙O上一点（不与B、E重合）连接AD、BD、AC、BC．设BC长度为n，AC长度为m．
（1）用含m、n的式子表示四边形ACBD的面积S；
（2）证明：tan∠DAC=

m+n

m-n

；
（3）如图②③，当点C运动至

AD

或

BD

上时，②中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用含m、n的式子表示tan∠DAC．（直接写答案，并选择其中一种证明）

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C=∠D=90°，根据等弧所对的弦相等可得AD=BD，从而得到△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理列式求出AB，再根据等腰直角三角形的性质求出AD，然后根据四边形ACBD的面积S=S_△ABC+S_△ABD，列式计算即可得解；
（2）过点D作DM⊥AC于M，作DN⊥BC交CB的延长线于N，可得四边形DMCN是矩形，根据同角的余角相等求出∠ADM=∠BDN，然后利用“角角边”证明△ADM和△BDN全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BN，DM=DN，从而得到矩形DMCN是正方形，设正方形的边长为x，AM=BN=y，然后用m、n表示a列出方程组求解得到x、y，再根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解；
（3）图②，先求出点C关于原点的对称点C′，连接AC′、BC′，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形可得四边形AC′C是矩形，过点D作DM⊥AC′于M，作DN⊥BC′交C′B的延长线于N，然后与（2）的思路相同求解即可；图③同理可求．

解答：解：（1）∵AB的⊙O的直径，
∴∠C=∠D=90°，
∵D是上半圆中点，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

m2+n2

，
∴AD=

2

2

AB=

2

2

m2+n2

，
∴四边形ACBD的面积S=S_△ABC+S_△ABD，
=

1

2

AC•BC+

1

2

AD²，
=

1

2

mn+

1

2

×

1

2

（m²+n²），
=

1

4

（m+n）²；

（2）如图①，过点D作DM⊥AC于M，作DN⊥BC交CB的延长线于N，则四边形DMCN是矩形，
∴∠BDN+∠BDM=90°，
又∵∠ADM+∠BDN=∠ADB=90°，
∴∠ADM=∠BDN，
∵在△ADM和△BDN中，

∠ADM=∠BDN ∠AMD=∠BND=90° AD=BD

，
∴△ADM≌△BDN（AAS），
∴AM=BN，DM=DN，
∴矩形DMCN是正方形，
设正方形的边长为x，AM=BN=y，则

x+y=m x-y=n

，
解得

x= m+n 2 y= m-n 2

，
tan∠DAC=

DM

AM

=

x

y

=

m+n

m-n

；

（3）结论不成立，点C在

AD

上时，tan∠DAC=

n-m

m+n

；
点C在

BD

上时，tan∠DAC=

m-n

m+n

．
理由如下：点C在

AD

上时，
如图②，点C′为点C关于原点的对称点，连接AC′、BC′，
则四边形AC′C是矩形，
∴AC′=BC=n，BC′=AC=m，
过点D作DM⊥AC′于M，作DN⊥BC′交C′B的延长线于N，
与（2）同理可求，AM=BN，DM=DN，
∴矩形DMCN是正方形，
设正方形的边长为x，AM=BN=y，则

x+y=n x-y=m

，
解得

x= m+n 2 y= n-m 2

，
∵DM⊥AC′，AC′∥BC，
∴DM⊥BC，
∵∠C=90°，
∴AC∥DM，
∴∠DAC=∠ADM，
∴tan∠DAC=tan∠ADM=

AM

DM

=

y

x

=

n-m

m+n

；
点C在

BD

上时，如图③，
设正方形的边长为x，AN=BM=y，则

x+y=m x-y=n

，
解得

x= m+n 2 y= m-n 2

，
tan∠DAC=tan∠ADN=

AN

DN

=

y

x

=

m-n

m+n

．

点评：本题考查了圆的综合题型，主要利用了直径所对的圆周角是直角，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角的正切的定义，作辅助线构造出全等三角形与正方形是解题的关键，也是本题的难点．