Question

已知抛物线y=

1

2

x2-4x+6，经过C（7，m），交y轴于点A，交X轴于B、M两点（B在左），D为抛物线的顶点．

（1）求D点坐标及直线AC的解析式．
（2）E为抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：△ACF的内心在EF上．
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先确定A点坐标与C点坐标，再利用待定系数法确定直线AC的解析式，然后把抛物线配成顶点式得到顶点D的坐标和对称轴方程；
（2）先求出对称轴与直线AC的交点E的坐标，再利用对称确定F点的坐标，然后利用待定系数法可求出直线AF的解析式为y=-

7

2

x+6，直线CF的解析式为y=

7

2

x-22，再分别求出它们与x轴的交点坐标，则可判断这两个点关于抛物线的对称轴对称，于是得到直线FE平分∠AFC，根据三角形内心的定义可得到△ACF的内心在EF上；
（3）先计算出AF=2

53

，DF=6，FC=

3 53

2

，利用（2）中的结论可得到∠FAO=∠DFC，根据三角形相似的判定方法得到当AP：FD=AF：FC时，△AFP∽△FCD；当AP：FC=AF：FD时，△AFP∽△FDC，则可分别计算出AP的长，然后确定P点坐标．

解答：（1）解：把x=0代入y=

1

2

x²-4x+6得y=6，则点A点坐标为（0，6），
把C（7，m）代入y=

1

2

x²-4x+6得m=

5

2

，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（0，6）和C（7，

5

2

）代入得

b=7 7k+b= 7 2

，
解得

k=- 1 2 b=7

，
所以直线AC的解析式为y=-

1

2

x+6；
y=

1

2

x²-4x+6=

1

2

（x-4）²-2，
所以D点坐标为（4，-2）；

（2）证明：抛物线的对称轴为直线x=4，
把x=4代入y=-

1

2

x+6得y=-

1

2

×4+6=4，
所以E点坐标为（4，4），
因为F与E关于D（4，-2）对称，
所以F点坐标为（4，-8），
直线AF的解析式为y=-

7

2

x+6，它与x轴的交点坐标为（

12

7

，0），
直线CF的解析式为y=

7

2

x-22，它与x轴的交点坐标为（

44

7

，0），
因为点（

12

7

，0）和点（

44

7

，0）关于直线x=4对称，
所以直线FE平分∠AFC，
所以△ACF的内心在EF上；

（3）解：存在．理由如下：
AF=2

53

，DF=6，FC=

3 53

2

，
因为∠AFE=∠CFE，
而∠AFE=∠FAO，
∴∠FAO=∠DFC，
所以当AP：FD=AF：FC时，△AFP∽△FCD，
即AP：6=2

53

：

3 53

2

，解得AP=8，
所以P点坐标为（0，-2）；
当AP：FC=AF：FD时，△AFP∽△FDC，
即AP：

3 53

2

=2

53

：6，解得AP=

53

2

，
所以P点坐标为（0，-

41

2

），
所以满足条件的P点坐标为（0，-2）或（0，-

41

2

）．

点评：本题考查了二次函数的综合题：先根据二次函数的性质确定抛物线顶点坐标与对称轴，再利用待定系数法确定直线的解析式，然后运用三角形内心的定义和三角形相似的判定与性质进行几何计算．